haskell – 非正则递归类型的变形(折叠)的类型是什么？

data Bool = False | True
foldBool :: r              -- False constructor
         -> r              -- True constructor
         -> Bool -> r

data Maybe a = nothing | Just a
foldMaybe :: b             -- nothing constructor
          -> (a -> b)      -- Just constructor
          -> Maybe a -> b

data List a = Empty | Cons a (List a)
foldList :: b              -- Empty constructor
         -> (a -> b -> b)  -- Cons constructor
         -> List a -> b

data List a = Empty | Cons a (List (a,a))

data List a = Empty | Cons a (List (List a))
foldList :: b              -- Empty constructor
         -> ???            -- Cons constructor
         -> List a -> b

这只是部分答案。

OP提出的问题是：如果在非常规递归类型的情况下如何定义fold / cata？

既然我不相信自己这个权利，我会诉诸于要求Coq。我们从一个简单的，常规的递归列表类型开始。

Inductive List (A : Type) : Type :=
  | Empty: List A
  | Cons : A -> List A -> List A
.

在这里没有什么想法，列表A是用List A来定义的。
(记住这一点 – 我们会回头看看。)

cata怎么样？让我们来看一下感应线。

> Check List_rect.
forall (A : Type) (P : List A -> Type),P (Empty A) ->
   (forall (a : A) (l : List A),P l -> P (Cons A a l)) ->
   forall l : List A,P l

让我们来看看。上述漏洞依赖类型：P取决于列表的实际值。在P列表是常数类型B的情况下，我们只需手动简化。我们获得：

forall (A : Type) (B : Type),B ->
   (forall (a : A) (l : List A),B -> B) ->
   forall l : List A,B

这可以等同地写成

forall (A : Type) (B : Type),B ->
   (A -> List A -> B -> B) ->
   List A -> B

哪个是折叠，除了“当前列表”也传递给二进制函数参数 – 不是主要区别。

现在，在Coq中，我们可以用另一种微妙的方式定义一个列表：

Inductive List2 : Type -> Type :=
  | Empty2: forall A,List2 A
  | Cons2 : forall A,A -> List2 A -> List2 A
.

它看起来是一样的，但是有一个深刻的区别。这里我们没有按照List A定义类型List A.而是我们定义一个类型函数List2：Type – >用List2来输入。其主要目的是对List2的递归引用不必适用于A – 事实上，我们这样做只是一个事件。

无论如何，让我们看看引入原理的类型：

> Check List2_rect.
forall P : forall T : Type,List2 T -> Type,(forall A : Type,P A (Empty2 A)) ->
   (forall (A : Type) (a : A) (l : List2 A),P A l -> P A (Cons2 A a l)) ->
   forall (T : Type) (l : List2 T),P T l

我们像以前一样从P中删除List2 T参数，基本上假定P是恒定的。

forall P : forall T : Type,Type,P A ) ->
   (forall (A : Type) (a : A) (l : List2 A),P A -> P A) ->
   forall (T : Type) (l : List2 T),P T

同等重写：

forall P : (Type -> Type),P A) ->
   (forall (A : Type),A -> List2 A -> P A -> P A) ->
   forall (T : Type),List2 T -> P T

在Haskell符号中大致对应

(forall a,p a) ->                          -- Empty
(forall a,a -> List2 a -> p a -> p a) ->   -- Cons
List2 t -> p t

不错 – 基本情况现在必须是一个多态函数，就像Haskell中的空格一样。这有道理类似地，归纳情况必须是多态函数，就像缺点一样。有一个额外的List2一个参数，但是我们可以忽略，如果我们想要的话。

现在，上面的一种是常规类型的fold / cata。非常规的呢？我会学习

data List a = Empty | Cons a (List (a,a))

在Coq中成为：

Inductive  List3 : Type -> Type :=
  | Empty3: forall A,List3 A
  | Cons3 : forall A,A -> List3 (A * A) -> List3 A
.

具有感应原理：

> Check List3_rect.
forall P : forall T : Type,List3 T -> Type,P A (Empty3 A)) ->
   (forall (A : Type) (a : A) (l : List3 (A * A)),P (A * A) l -> P A (Cons3 A a l)) ->
   forall (T : Type) (l : List3 T),P T l

删除“依赖”部分：

forall P : (Type -> Type),A -> List3 (A * A) -> P (A * A) -> P A ) ->
   forall (T : Type),List3 T -> P T

在Haskell符号：

(forall a. p a) ->                                      -- empty
   (forall a,a -> List3 (a,a) -> p (a,a) -> p a ) ->    -- cons
   List3 t -> p t

除了附加的List3(a，a)参数外，这是一种折叠。

最后，OP类型呢？

data List a = Empty | Cons a (List (List a))

唉，Coq不接受这种类型

Inductive  List4 : Type -> Type :=
  | Empty4: forall A,List4 A
  | Cons4 : forall A,A -> List4 (List4 A) -> List4 A
.

因为内部的List4的出现不是在严格正确的位置。这可能是一个暗示，我应该停止懒惰和使用Coq来完成这项工作，并开始考虑自己涉及的F代数…